Проект "Шанс"

Контакты

Помочь проектy

Новое на сайте

Публикуется впервые

Моя страничка

Конкурсы

Благодарность

Пpавила оказания первой помощи

Школа выживания

Созвездие талантов

Тема дня:

Интересные ссылки

Математика Эшера

Статья подготовлена по материалам, взятам из открытых источников интернета.

Названия работ переводила сама, поэтому заранее прошу извинения если тде -то вкралась неточность.

Морис Корнелиус Эшер - (17 июня 1898, Леуварден, Нидерланды — 27 марта 1972, Ларен, Нидерланды) — "Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам-художникам" - нидерландский художник-график. Известен прежде всего своими концептуальными литографиями, гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов.

Для сюжетов «классических» произведений Эшера («Рисующие руки», «Метаморфозы», «День и ночь», «Рептилии», «Встреча», «Дом с лестницей» и т. д.) характерно остроумное осмысление логических и пластических парадоксов. Многие графические и концептуальные находки Эшера вошли в число символов XX века и впоследствии неоднократно воспроизводились или «цитировались» другими художниками. В то же самое время работы Эшера подчёркнуто относятся к элитарному искусству.
В процессе работы художник брал идеи из математических статей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трёхмерных фигур на плоскость, неевклидовой геометрии, «невозможных фигурах», логике трёхмерного пространства, считается, что его творчество следует рассматривать в контексте теории относительности Эйнштейна, фрейдовского психоанализа, кубизма и прочих достижений в области соотношений пространства, времени и их тождественности.
Мауриц Эшер одним из первых стал изображать в своих мозаичных картинах фракталы. Во время XII Всемирного Математического Конгресса в Амстердаме в 1954 году была открыта выставка работ Эшера. Математическое описание фракталов было предложено только в 1970-е годы (термин «фрактал» был введён в 1975 году).
Сам Морис Эшер, как многие гении и до и после него, утверждал: «Все мои произведения — это игры. Серьезные игры». Однако в этих играх математики всего мира вот уже несколько десятилетий рассматривают абсолютно серьёзные, материальные доказательства идей, созданных с помощью исключительно математического аппарата.
Творчество Эшера оказало огромное влияние на несчетное количество художников в разных странах мира. Среди них и Жос де Мей, и Сандро дель Пре, и Иштван Орос.
В 2002 году в Гааге, в бывшем королевском дворце, ранее использовавшемся как выставочный зал (нидерл. Het Paleis), открылся музей Эшера, в котором выставлены его наиболее известные графические работы.
В 1968 году, за 4 года до смерти, Эшер создал фонд The M. C. Escher Foundation для того, «чтобы сохранить его наследие». The M. C. Escher Foundation продолжает организовывать выставки работ художника, выпускать книги и фильмы о нём и его работах.

Мозаики

Регулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными (прим. перев. нерегулярные мозаики образуют неповоряющиеся узоры) - а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.
Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник.) Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.
Интерес к мозаикам проявился в 1936 во время путешествия в Испании под влиянием геометрических орнаментов Альгамбры.
Художник не только интересовался нерегулярным заполнением плоскости, называя это игрой, он совмещал эксперименты с заполнением плоскости с экспериментами с переходами плоскости в объём и наоборот - «Рептилии».

Небо и вода. 1938

Птицы рыбы. 1938

День и ночь. 1938

Двойные птицы. 1938

Эволюция 3. 1939

Метаморфозы 2. 1939-40

Бабочки. 1950

Ящерицы. 1942

Метаморфозы 2. Фрагмент 5. 1939 - 40

Рептилии в цвете. 1943

Рептилии. 1943

Всадник. 1946

Бабочки в круге. 1950

Магическое зеркало. 1950

Всё меньше и меньше. 1956

Мозаика 2. 1957

Рыбы и чешуя. 1959

Многогранники

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из однаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.
Многоугольники, как и сферы, используются в работах Эшера для создания перспективы. Последней литографией в серии многоугольников была «Гравитация». На ней изображён додекаэдр, образованный двенадцатью плоскими пятиконечными звёздами.

Звезды в цвете. 1948

Звезды. 1948

Этюд из 3везд. 1948

Контраст (порядок и хаос). 1950

2 планетоида в цвете. 1949

2 планетоида. 1949

Тетраэдр планетоид. 1954

414. 1959

Спирали

Спирали. 1953

409. 1954

Кожура в цвете. 1955

Кожура. 1955

Объединяющее слияние. 1956

Спиральная сфера. 1958

Форма пространства

Среди наиболее важных работ Эшера с математической точки зрения являются картины, оперирующие с природой самого пространства. Литография "Три пересекающиеся плоскости" - хороший пример для начала обзора таких картин. Этот пример демонстрирует интерес художника к размерности пространства и способность мозга распознавать трехмерные изображения на двухмерных рисунках. Как будет ниже, Эшер позже использовал данный принцип для создания изумительных визуальных эффектов.
Эшера волновали особенности перехода от плоскости к пространству, взаимодействие имеющих определённую форму двухмерных фигур и трёхмерных существ, способных передвигаться в пространстве. Эшер стремился иллюстрировать динамику явления, и видел абсурд в том, что несколько проведённых линий могут восприниматься глазом как объёмная фигура. Помимо этого, Эшер работал над заполнением пространства; на его взгляд, из созданных на эту тему работ идеальной по композиции может считаться третий «Предел круга» (рыбоподобные фигуры уменьшаются при удалении от центра круга, плотно заполняя при этом поверхность; подобное уменьшение может быть бесконечным; при этом картина демонстрирует один из видов неевклидова пространства, описанный Анри Пуанкаре: теоретически находящийся в этом пространстве человек не будет чувствовать ничего необычного, но не сможет нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами, соединёнными прямыми линиями, так как в этом пространстве не существует квадратов и прямоугольников).
Кроме особенностей евклидовой и неевклидовой геометрий Эшера интересовали визуальные аспекты топологии. Топология изучает свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются при деформации, например, растяжении, сжатии или изгибе. Единственное, к чему не должна приводить деформация - это к разрыву. Топологам приходится изображать множество странных объектов. Одним из наиболее известных является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах Эшера. Это может показаться странным, но у этой поверхности есть только одна сторона и одна кромка. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же. Сделать лист Мебиуса очень просто. Надо взять полоску бумаги, изогнуть ее, и склеить противоположные края ленты клеем. Как вы думаете, что случится, если разрезать лист Мебиуса вдоль?

Змеи.

Муравьи.

Предел круга 3. 1959

Три пересекающихся плана в цвете. 1954

Перетекание. 1956

Дракон. 1952

Два пересекающихся плана в цвете. 1952

Два пересекающихся плана. 1952

Таинственное белое пятно

Для понимания любой картины Эшера требуется внимание и наблюдательность, а эта работа требует особого внимания. Каким-то образом Эшер завернуть пространство в кольцо, и получилось, что мальчик находится одновременно внутри картины и вне ее. Секрет этого эффекта состоит в том, каким образом преобразовано изображение. Понять это можно, анализируя карандашный набросок сетки, которым пользовался Эшер при создании картины. Эффект, который Эшер пытался достигнуть в этой картине, де Рийк объяснил как последовательное круговое распространение, "объекты в замкнутом круговом образовании не имеют ни начала ни конца." Для создания точного каркаса картины Эшер сначала изобразил круговое распространение в виде сетки, делая размеры квадратов увеличивающимися в 256 раз по мере движения вокруг центра картины. Далее, начав с изображения обычной картины с домами на причале, помещенной в галерею, он наложил прямоугольную сетку на изображение и переносил картину с неискаженной сетки на искаженную квадрат за квадратом. Обратите внимание, что расстояние между линиями сетки увеличивается в направлении движения стрелки часов. Заметим еще, на чем основана хитрость картины - белое пятно в центре. Математики называют это пятно особым местом или особой точкой, где пространства не существует. Не существует способа изобразить этот участок картины без швов или наложений, поэтому Эшер решил эту проблему, поместив в центр картины свой автограф.

Трансформация исходной сетки в искаженную сетку, пободную сетке Эшера.

Картинная галерея. 1956

Версия "Картинной галереи" Эшера, полученная в Университете Лейдена. Наиболее значительное различие - заполненный участок картины, в том месте, где в оригинале находится белое пятное.

Логика пространства

Под "логикой" пространства мы понимаем те отношения между физическими объектами, которые обычны для реального мира, и при нарушении которых возникают визуальные парадоксы, называемые еще оптическими иллюзиями. Большинство художников, экспериментирующие с логикой пространства, изменяют эти отношения между объектами, основываясь на своей интуиции, как, например, Пикассо.
Художник создавал на своих картинах оптические иллюзии, в основном с помощью светотени. Например, на картине «Куб с полосками» невозможно определить, в какую сторону обращены объёмные «пуговицы», расположенные на ленте.
Еще один из аспектов логики пространства - перспектива. На рисунках, в которых присутствует эффект перспективы, выделяют так называемые точки исчезновения, которые сообщают глазу человека о бесконечности пространства. Изучение особенностей перспективы началось еще во времена возрождения художниками Альберти, Дизаргом и многими другими. Их наблюдения и выводы легли в основу современной геометрии проекций.
Эшер работает с проблемами перспективы, начиная с ранних гравюр («Вавилонская башня»); спустя десятилетия после её создания работа над перспективой велась уже не ради интересных ракурсов, но и для создания полуабсурдных произведений, позволяющих рассмотреть один и тот же объект с разных точек в рамках единой картины. Вводя дополнительные точки исчезновения и немного изменяя элементы композиции для достижения нужного эффекта, Эшер смог изобразить картины, в которых изменяется ориентация элементов в зависимости от того, как зритель смотрит на картину. На картине "Cверху и cнизу" художник разместил сразу пять точек исчезновения - по углам картины и в центре. В результате, если мы смотрим на нижнюю часть картины, то создается впечатление, что мы смотрим вверх. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то кажется, что мы смотрим вниз. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер изобразил два вида одной и той же композиции.
Кроме того, «игрой» с логикой пространства являются картины Эшера, на которых изображены различные «невозможные фигуры»; Эшер изображал их как отдельно, так и в сюжетных литографиях и гравюрах, самой примечательной из которых является, вероятно, литография «Водопад», основанная на невозможном треугольнике (треугольник Пенроуза). Водопад играет роль вечного двигателя, а башни кажутся одинаковой высоты, хотя в одой из них на этаж меньше, чем в соседней.

Куб с магической лентой. 1957

Другой мир. 1947

Бельведер. 1958

Бельведер фрагмент. 1958

Относительные линии. 1953

Вогнутый и выпуклый. 1955

Галерея. 1946

Водопад.

Подъём и спуск фрагмент. 1960

Сверху и снизу. 1947

Самовоспроизведение и информация

Наиболее очевидна тема самовоспроизведения в литографии «Рисующие руки»: хорошо прорисованы кисти рук, выходящие из ещё лишь набросанных манжетов; каждая из кистей рук рисует манжет соседней руки. Возникает «странная петля», в которой уровни рисующего и рисуемого взаимно замыкаются друг на друге. Центральная идея самовоспроизведения, взятая на вооружение Эшером, обращается к загадке человеческого сознания и способности человеческого мозга обрабатывать информацию так, как не сможет обработать ни один компьютер. Литографии "Рисующие руки" и "Рыбы и чешуйки" используют эту идею разными способами. Самовоспроизведение является направленным действием. Руки рисуют друг друга, создавая самих себя. При этом сами руки и процесс их самовоспроизведения неразделимы. В работе "Рыбы и чешуйки" концепция самовоспроизведения представлена более функционально, и в данном случае она может быть названа самоподобием.
Углубляясь в изучение самовоспроизведения, можно его обнаружить в отражении и пересечении отражений реального мира. Такое пересечение встречается во многих картинах Эшера. Мы рассмотрим лишь один пример - литографию "Три сферы", на которой присутствуют три шаровидных тела, сделанных из разных материалов с различной отражающей способностью. Эти сферы отражают друг друга и художника, и комнату, в которой он работает, и лист бумаги, на котором он рисует сферы. Хофстадтер в своей книге написал "... каждая частица мира содержит в себе весь мир и содержится к во всех других частицах мира..."

Рисующие руки. 1948

Три сферы. 1946

Узлы

Сферы

Натюрморт с сферическим зеркалом. 1934

Рука с отражающей сферой. 1935

Три сферы 1 схема. 1945

Три сферы 1. 1945

Поддержи сайт!

Малышам

Азбуки
Азбука онлайн
Азбука Е.М. Бём
Азбука А. Бенуа

Учимся счету
Цифры онлайн

Обучающие пособия в картинках
Овощи
Фрукты
Ягоды
Птицы
Насекомые
Обувь

Библиотека онлайн
"Рукавичка"
"Касьянка, Том и Плут"
"2 жадных медвежонка"
"Репка"
"Бабушка, внучка да курочка"
"Чудесные лапоточки"
"Слонёнок и письмо"
"Про козлёнка, который умел считать до 10"
"Привередница"
"Маша и медведь"

Методические обучающие пособия в картинках
Времена года
Времена года (бонус: цветочные феи в работах Сесили Мэри Баркер)

Знакомимся с Английским языком
Цветочный алфавит от Сесили Мэри Баркер

Конкурс
Моя знакомая фея

Постарше

Хочу всё знать
Космос
Cеверное сияние
Фото-дайджест 1 - поверхность земли из космоса
Фото-дайджест 2 - интересные фото космоса и планет
Немного о Луне.
Пословица в картинках
Поговорка в картинках
Пословицы о России, о Родине
Пословицы и поговорки и их толкование (значение)
100 японских пословиц и поговорок
Задания для самостоятельной работы:
Растолкуйте значение предложенных русских пословиц
Подберите русский аналог к японской пословице
Кремль
Оружейная палата
Исторические виды Кремля

Компьютерная грамотность
Компьютер в картинках
Словарь компьютерных терминов
Интернет - словарь
Правила работы за компьютером
Осторожно! Интернет!

Английский язык
"Эльфийский " алфавит с Лорен Миллс

Конкурс
"Золушка"

Общая история
Историческая оловянная миниатюра

Техника и технологии
Термины и их значение
Металлургия в фотографиях
Как делают DVD-диски

Библиотека онлайн
"Бобик в гостях у Барбоса"
"Рифмы матушки Гусыни"
"Зоки и Бада"
"Ёжик в тумане"
"Кладовая солнца"
"Сказки" В.В. Бианки
"Золушка"
Адыгейские народные сказки
Маяковский для детей
Лесков "Неразменный рубль"
Коллекция иллюстраций к сказке "Золушка"

Обучающие пособия в картинках
Электрические приборы
Электрические приборы бытовые
Солнечная система
Космос

Большим

Юридический ликбез

Конституция Российской Федерации
Всеобщая ДЕКЛАРАЦИЯ прав человека
Основные государственные законы Российской Империи

Словари
Словарь эпитетов русского языка
Словарь компьютерных терминов
Интернет - словарь
Словарь церковных терминов

Религии мира
Интересная статистика

Конкурс
Видеомы
Журавли

Английский язык
Название цветов (спектральных) в английском языке

Техника и технологии

Термины и их значение
"Ковчеги"
Дайджест - экологичные технологии 2010
Катамаран на солнечной тяге.
Дайджест № 1 2011
История бронежилета

Библиотека онлайн
Андрей Андреевич Вознесенский
Евгений Александрович Евтушенко
Расул Гамзатов
В.Шефнер "Лачуга должника"
Н.Лесков "Очарованный странник"
Законы Мёрфи

Математика
История математики
Математика Эшера

Россия - наша Родина

Русский язык
Старославянские алфавиты
Древнерусские рукописные книги
Словарь эпитетов русского языка
Словарь церковных терминов
Лох, мымра и другие.
История буквы ё.
Памятники старославянской письменности.
Библеизмы в нашей речи.

2011 - Год Российской космонавтики
Впервые в мире - даты и факты
Космонавт №1
Гагарин - фотогалерея
Документы о первом полете человека в космос
Музей РКК "Энергия" им. С.П. Королева
Мемориальный музей КОСМОНАВТИКИ
Первый искусственный спутник земли

Исторический костюм
Одежды Русскаго государства Солнцев Федор Григорьевич

Законодательные акты
Конституция Российской Федерации

Конкурс
Видеомы
Журавли

Красная книга России
Что такое "Красная Книга"
"Красная книга" в рисунках В.Горбатова

Библиотека онлайн
Андрей Андреевич Вознесенский
Евгений Александрович Евтушенко
Расул Гамзатов
Н.Лесков "Очарованный странник"
"Кладовая солнца"

Великая Отечественная

Герои Великой Отечественной Войны
Галерея

Фронтовые фотокорреспонденты
Альперт Макс Владимирович
Кинеловский Виктор Сергеевич
Кудояров Борис Павлович
Струнников Сергей Николаевич
Халдей Евгений Ананьевич
Трахман Михаил Анатольевич
Редькин Марк Степанович
Кнорринг Олег Борисович

Плакаты ВОВ
Галерея

Библиотека онлайн
Дневник Анны Франк

Мир вокруг нас

С миру по нитке
Печальные истории с хорошим концом
Изобретения, пришедшие от природы
Фото необычных и забавных животных от "The Telegraph"
Макрофотографии грибов плесени

Экология
«Картины разрушения в абстрактном стиле»
Борьба с разливом нефти в Китае фоторепортаж
Репортаж из нашей АРКТИКИ
Ветромобиль

Что такое, кто такой
Что такое радуга
Что происходит внутри яйца фоторепортаж

Художественная школа

Каллиграфия
История и развитие
Шедевры каллиграфии
Николай Семёнович Самокиш (1860-1944)

Искусство плаката
История плаката
Дореволюционный Российский плакат

Конкурс
Каллиграфия

Своими руками

Мастера
Дворцы - скворечники.

Делаем сами
Делаем туес из бересты - сами
Делаем скворечник

Библиотека онлайн

Малышам
"Рукавичка"
"Касьянка, Том и Плут"
"2 жадных медвежонка"
"Репка"
"Бабушка, внучка да курочка"
"Чудесные лапоточки"
"Слонёнок и письмо"
"Про козлёнка, который умел считать до 10"
"Привередница"
"Маша и медведь"

Постарше
"Бобик в гостях у Барбоса"
"Рифмы матушки Гусыни"
"Зоки и Бада"
"Ёжик в тумане"
"Кладовая солнца"
"Сказки" В.В. Бианки
"Золушка"
Адыгейские народные сказки
Маяковский для детей
Лесков "Неразменный рубль"
Коллекция иллюстраций к сказке "Золушка"

Большим
Андрей Андреевич Вознесенский
Евгений Александрович Евтушенко
Расул Гамзатов
В.Шефнер "Лачуга должника"
Н.Лесков "Очарованный странник"
Законы Мёрфи

Великая Отечественная
Дневник Анны Франк

©03.12.2010-12 Арсланова Элла.

Проект "Шанс"

Контакты

Помочь проектy

Новое на сайте

Моя страничка

Rambler's Top100

Сайт управляется системой uCoz